目錄

• 一. 歸并排序的定義
• 二. 歸并排序的流程
• 三. 歸并排序的圖解
• 四. 歸并排序的代碼
• 五. 歸并排序的時間復(fù)雜度
• 六. 歸并排序的總結(jié)

一. 歸并排序的定義

歸并排序（merge sort）是一種常見的排序算法：

• 它的基本思想是將待排序數(shù)組分成若干個子數(shù)組。
• 然后將相鄰的子數(shù)組歸并成一個有序數(shù)組。
• 最后再將這些有序數(shù)組歸并（merge）成一個整體有序的數(shù)組。

這個算法最早出現(xiàn)在1945年，由約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）（又一個天才，現(xiàn)代計算機之父，馮·諾依曼結(jié)構(gòu)、普林斯頓結(jié)構(gòu)）首次提出。

• 當時他在為美國政 府工作，研究原子彈的問題。
• 由于當時計算機，他在研究中提出了一種高效計算的方法，這個方法就是歸并排序。

歸并排序的基本思路是先將待排序數(shù)組遞歸地拆分成兩個子數(shù)組，然后對每個子數(shù)組進行排序，最后將兩個有序子數(shù)組合并成一個有序數(shù)組。

• 在實現(xiàn)中，我們可以使用“分治法”來完成這個過程，即將大問題分解成小問題來解決。

歸并排序的算法復(fù)雜度為 O(nlogn)，是一種比較高效的排序算法，因此在實際應(yīng)用中被廣泛使用。

雖然歸并排序看起來比較復(fù)雜，但是只要理解了基本思路，實現(xiàn)起來并不困難，而且它還是一個非常有趣的算法。

二. 歸并排序的流程

歸并排序是一種基于分治思想的排序算法，其基本思路可以分為三個步驟：

步驟一：分解（Divide）：歸并排序使用遞歸算法來實現(xiàn)分解過程，具體實現(xiàn)中可以分為以下幾個步驟：

• 如果待排序數(shù)組長度為1，認為這個數(shù)組已經(jīng)有序，直接返回；
• 將待排序數(shù)組分成兩個長度相等的子數(shù)組，分別對這兩個子數(shù)組進行遞歸排序；
• 將兩個排好序的子數(shù)組合并成一個有序數(shù)組，返回這個有序數(shù)組。

步驟二：合并（Merge）：合并過程中，需要比較每個子數(shù)組的元素并將它們有序地合并成一個新的數(shù)組：

• 可以使用兩個指針 i 和 j 分別指向兩個子數(shù)組的開頭，比較它們的元素大小，并將小的元素插入到新的有序數(shù)組中。
• 如果其中一個子數(shù)組已經(jīng)遍歷完，就將另一個子數(shù)組的剩余部分直接插入到新的有序數(shù)組中。
• 最后返回這個有序數(shù)組。

步驟三：歸并排序的遞歸終止條件：

• 歸并排序使用遞歸算法來實現(xiàn)分解過程，當子數(shù)組的長度為1時，認為這個子數(shù)組已經(jīng)有序，遞歸結(jié)束。

總體來看，歸并排序的基本思路是分治法，分成子問題分別解決，然后將子問題的解合并成整體的解。

三. 歸并排序的圖解

四. 歸并排序的代碼

下面是TypeScript實現(xiàn)的歸并排序代碼，帶有詳細的注釋：

// 定義函數(shù)mergeSort，參數(shù)是待排序數(shù)組arrfunction mergeSort(arr: number[]): number[] {    // 計算數(shù)組長度    const n = arr.length;    // 如果數(shù)組長度小于等于1，則直接返回該數(shù)組    if (n <= 1) {return arr;    }    // 計算中間位置    const middle = Math.floor(n / 2);    // 對左邊的數(shù)組進行歸并排序    const left = mergeSort(arr.slice(0, middle));    // 對右邊的數(shù)組進行歸并排序    const right = mergeSort(arr.slice(middle));    // 合并兩個排好序的數(shù)組    return merge(left, right);}// 定義函數(shù)merge，參數(shù)是兩個排好序的數(shù)組left和rightfunction merge(left: number[], right: number[]): number[] {    // 定義指針變量，分別指向兩個數(shù)組的開頭    let i = 0, j = 0;    // 定義一個空數(shù)組，用來存放合并后的數(shù)組    const result = [];    // 比較兩個數(shù)組的第一個元素，將較小的放入result數(shù)組    while (i < left.length && j < right.length) {if (left[i] < right[j]) {    result.push(left[i++]);} else {    result.push(right[j++]);}    }    // 將沒有比較完的剩余元素放入result數(shù)組    while (i < left.length) {result.push(left[i++]);    }    while (j < right.length) {result.push(right[j++]);    }    // 返回合并后的數(shù)組    return result;}// 測試數(shù)據(jù)const testArr = [5, 2, 9, 1, 5, 6];// 調(diào)用插入排序函數(shù)const sortedArr = mergeSort(testArr);// 打印結(jié)果console.log(sortedArr);

代碼執(zhí)行的過程：

• mergeSort 函數(shù)實現(xiàn)歸并排序的遞歸調(diào)用，在該函數(shù)內(nèi)，如果數(shù)組的長度小于等于1，直接返回該數(shù)組。
• 如果數(shù)組的長度大于1，那么執(zhí)行以下代碼：
  • 先計算數(shù)組的中點，并將數(shù)組分為左右兩半。
  • 遞歸調(diào)用左邊和右邊的數(shù)組，最終得到兩個有序的數(shù)組。
• merge 函數(shù)實現(xiàn)將兩個有序的數(shù)組合并為一個有序的數(shù)組。

五. 歸并排序的時間復(fù)雜度

復(fù)雜度的分析過程：

• 假設(shè)數(shù)組長度為 n，需要進行 logn 次歸并操作；
• 每次歸并操作需要 O(n) 的時間復(fù)雜度；
• 因此，歸并排序的時間復(fù)雜度為 O(nlogn)。

最好情況： O(log n)

• 最好情況下，待排序數(shù)組已經(jīng)是有序的了，那么每個子數(shù)組都只需要合并一次，即只需要進行一次歸并操作。
• 因此，此時的時間復(fù)雜度是 O(log n)。

最壞情況： O(nlogn)

最壞情況下，待排序數(shù)組是逆序的，那么每個子數(shù)組都需要進行多次合并。

因此，此時的時間復(fù)雜度為 O(nlogn)。

平均情況： O(nlogn)

• 在平均情況下，我們假設(shè)待排序數(shù)組中任意兩個元素都是等概率出現(xiàn)的。
• 此時，可以證明歸并排序的時間復(fù)雜度為 O(nlogn)。

六. 歸并排序的總結(jié)

歸并排序是一種分治策略的排序算法，是利用分治的思想將一個大問題分成小問題，并在適當?shù)牡胤胶喜⑺鼈円越鉀Q該問題的方法。

它是一種穩(wěn)定的排序算法，時間復(fù)雜度為O(nlogn)。

歸并排序使用了額外的空間，因此更適合處理大數(shù)據(jù)。

• 歸并排序的基本流程是通過遞歸將數(shù)組分成兩半，分別進行遞歸排序，最終再進行合并。
• 具體來說，將數(shù)組的中間元素作為分界點，分別對左右兩邊的數(shù)組進行排序，并在排序完成后進行合并。

歸并排序的代碼實現(xiàn)較為簡單，但要注意關(guān)于遞歸函數(shù)和合并函數(shù)的實現(xiàn)。

歸并排序是一種不需要過多研究的算法，適合于所有的排序場景。

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